ĐỀ THI
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
$M=\frac{x+15}{\sqrt{x+3}}$ và $N=\left ( \frac{2}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}-5}{x-9} \right ):\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}$
(ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9 )
a. Tính giá trị của biểu thức M khi x = 9
b. Rút gọn biểu thức N
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài Làm:
a. Với x = 9 ta có:
$M=\frac{x+15}{\sqrt{x}+3}=\frac{9+15}{\sqrt{9}+3}=\frac{24}{6}=4$
b. $N=\left ( \frac{2}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}-5}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \right ).\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}$
$=\frac{2(\sqrt{x}-3)-\sqrt{x}+5}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}$
$=\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}=\frac{1}{\sqrt{x}+3}$
c. $P= M+N = \frac{x+15}{\sqrt{x}+3}+\frac{1}{\sqrt{x}+3}=\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}$
$=\sqrt{x}-3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}+6$
Áp dụng Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm √x + 3 và $\frac{25}{\sqrt{x}+3}$ ta được:
$\sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}\geq 2.\sqrt{(\sqrt{x}+3)\frac{25}{\sqrt{x}+3}}=2.5=10$
$\Rightarrow \sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}+6\geq 10+6 = 16$
Dấu bằng xảy ra khi:
$\sqrt{x}+3=\frac{25}{\sqrt{x}+3}\Leftrightarrow (\sqrt{x}+3)^{2}=25\Leftrightarrow \sqrt{x}+3=5$ (do $\sqrt{x}+3> 0$)
$\Leftrightarrow \sqrt{x}=2 \Leftrightarrow x=4$
Vậy GTNN của P = 16, đạt được khi x = 4