Bài tập 5. Cho tam giác ABC, biết A(1; 3); B(-1; -1); C(5; -3). Lập phương trình tổng quát của:
a. Ba đường thẳng AB, BC, AC.
b. Đường trung trực cạnh AB.
c. Đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
Bài Làm:
a. $ \overrightarrow{AB}=\left( -2;-4 \right)$ ; $ \overrightarrow{AC}=\left( 4;-6 \right)$ ; $ \overrightarrow{BC}=\left( 6;-2 \right)$
- (AB) qua A(1;3) và nhận $ \overrightarrow{AB}=\left( -2;-4 \right)$ làm vectơ chỉ phương
$\Rightarrow$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến
$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của (AB) là: (AB): 1(x-1)+2(y-3)=0 hay (AB): x+2y-7= 0
- (AC) qua A(1;3) và nhận $ \overrightarrow{AB}=\left( 4;-6 \right)$ làm vectơ chỉ phương
$\Rightarrow$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( 3;2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của (AC) là: (AC): 3(x-4)+2(y+6)=0 hay (AB): 3x+2y= 0
- (BC) qua B(-1;-1) và nhận $ \overrightarrow{BC}=\left( 6;-2 \right)$ làm vectơ chỉ phương
$\Rightarrow$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;3 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của (BC) là: (BC): 1(x-6)+3(y+2)=0 hay (BC): x+3y= 0
b. Đường trung trực cạnh AB
Gọi I là trung điểm của AB
$\Rightarrow\left\{\begin{align}&{{x}_{I}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=0 \\ & {{y}_{I}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow$ I(0;1)
Gọi d là đường trung trực của cạnh AB
$\Rightarrow d\bot AB$ $\Rightarrow$ d nhận $ \overrightarrow{AB}=\left( -2;-4 \right)$ làm vecto pháp tuyến.
(d) qua I (0;1), nhận $ \overrightarrow{AB}=\left( -2;-4 \right)$ làm vectơ pháp tuyến
$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của (d): -2(x-0)-4(y-1)=0 hay (d): 2x+4y-4=0
c. Đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
$AH\bot BC\Rightarrow (AH):3x+y+m=0$
- (AH) qua A(1;3) $\Rightarrow$ 3.1+3+m =0 $\Rightarrow$ m = -6 $\Rightarrow$ (AH): 3x+y-6=0
AM là trung tuyến của tam giác $\Rightarrow$ M là trung điểm của BC
$\Rightarrow\left\{\begin{align}&{{x}_{M}}=\frac{{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{2}=0 \\ & {{y}_{M}}=\frac{{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{2}=1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow$ M(2;-2)
- (AM) qua A (1;3), nhận $\overrightarrow{AM}\left( 1;-5 \right)$ làm vectơ chỉ phương
$\Rightarrow$ $\overrightarrow{n}=\left( 5;1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến
$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của (AM) là: (AM): 5(x-1)+(y-3)=0 hay (AM): 5x+y-8=0