7.40. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = (x - 1)(x + 2)(x - 3) - (x + 1)(x - 2)(x + 3);
b) $B = (x-1)(x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)-x^{8}$
Bài Làm:
a) A = (x - 1)(x + 2)(x - 3) - (x + 1)(x - 2)(x + 3);
= $x^{3}-2x^{2}-5x+6-(x^{3}+2x^{2}-5x-6)=-4x^{2}+12$
b) $B = (x-1)(x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)-x^{8}$
Với X là một biểu thức tùy ý, ta có:
$(X-1)(X+1)=X^{2}-X+X-1$ hay $(X-1)(X+1)=X^{2}-1$ (1)
Từ đó, ta có:
$(x-1)(x+1)=x^{2}-1$ (áp dụng (1) với X = x);
$(x^{2}-1)(x^{2}+1)=(x^{2})^{2}-1=x^{4}-1$ (áp dụng (1) với $X = x^{2}$);
$(x^{4}-1)(x^{4}+1)=(x^{4})^{2}-1=x^{8}-1$ (áp dụng (1) với $X=x^{4}$);
Sử dụng các kết quả trên, ta được:
$(x-1)(x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)=[(x-1)(x+1)](x^{2}+1)(x^{4}+1)$
$=(x^{2}-1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)$
$=[(x^{2}-1)(x^{2}+1)](x^{4}+1)$
$=(x^{4}-1)(x^{4}+1)=x^{8}-1$
Vậy $B = (x-1)(x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)-x^{8} =(x^{8}-1)-x^{8}=-1$