9.26. Cho C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi Ax, By là hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và tại B. Một đường thẳng qua C cắt Ax tại M, cắt By tại P. Điểm N nằm trên tia đối của tia BP sao cho góc MCN là góc vuông. Gọi H là hình chiếu của C trên MN.
Chứng minh:
a) AM + BN = MN;
b) CM là đường trung trực của AH, CN là đường trung trực của BH;
c) Góc AHB là góc vuông.
Bài Làm:
a) Chứng minh AM = MH
Xét tam giác vuông AMC và BPC có:
AC = CB (gt)
$\widehat{ACM}=\widehat{BCP}$(đối đỉnh)
=> $\Delta AMC=\Delta BPC$ (cạnh góc vuông - góc nhọn)
=> MC = CP (cạnh tương ứng)
Mà NC $\perp $ MP
=> NC là đường trung trực của MP
=> Tam giác NMP cân tại N
=> $\widehat{P1}=\widehat{M2}
Mà $\widehat{P1}=\widehat{M1}$ (so le trong: Mx // By)
=> $\widehat{M1}=\widehat{M2}$
Xét tam giác vuông AMC và HMC có:
MC chung
$\widehat{M1}=\widehat{M2}$ (cmt)
=> $\Delta AMC=\Delta HMC$ (cạnh huyền - góc nhọn) => AM = MH
-Chứng minh: NB = NH
Tam giác MNP cân tại N có NC là đường trung trực đồng thời là đường phân giác xuất phát từ N.
Xét tam giác HNC và BNC có:
CN chung
$\widehat{N1}=\widehat{N2}$ (cmt)
=> $\Delta CHN=\Delta CBN$ (cạnh huyền - góc nhọn)
=> NH = NB (cạnh tương ứng)
=> AM + BN = MH + HN = MN => AM + BN = MH + HN = MN
b) Tam giác MAH cân tại M với MC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân M
=> MC là đồng thời là đường trung trực của AH
Tam giác NBH cân tại N với NC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân N
=> NC đồng thời là đường trung trực của BH.
c) Xét tam giác HAB có CA = CB
=> HC là đường trung tuyến
$\Delta AMC=\Delta HMC$ (cmt) => AC = HC (cạnh tương ứng)
=> HC = CA = CB
Đường trung tuyến ứng với cạnh AB và bằng nửa cạnh AB.
Vậy tam giác HAB vuông tại H.