8. Hai đa thức A(x) và B(x) thoả mãn:
$A(x)+B(x)=x^{3}-5x^{2}-2x+4$ và $A(x)-B(x)=-x^{3}+3x^{2}-2$
a)Tìm A(x), B(x) rồi xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đó.
b)Tìm giá trị của mỗi đa thức A(x) và B(x) tại x = -1.
Bài Làm:
a) $[A(x)+B(x)]+[A(x)-B(x)]=(x^{3}-5x^{2}-2x+4)+(-x^{3}+3x^{2}-2)$
$A(x)+B(x)+A(x)-B(x)=x^{3}-5x^{2}-2x+4+3x^{2}-2$
$A(x)+A(x)+B(x)-B(x)=(-5x^{2}+3x^{2})-2x+4-2$
$2A(x)=-2x^{2}-2x+2$
Vậy $A(x)=(-2x^{2}-2x+2):2=-x^{2}-x+1$ (1)
Mặt khác theo đề bài, $A(x)+B(x)=x^{3}-5x^{2}-2x+4$. Sử dụng (1), ta suy ra
$B(x)=(x^{3}-5x^{2}-2x+4)-A(x)=(x^{3}-5x^{2}-2x+4)-(-x^{2}-x+1)$
$B(x)=x^{3}-5x^{2}-2x+4+x^{2}+x-1=x^{3}-4x^{2}-x+3$
Kết quả ta được:
A(x) là một đa thức bậc 2 với hệ số cao nhất là -1, hệ số tự do là 1.
B(x) là một đa thức bậc ba với hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do là 3
b) $A(-1)=-(-1)^{2}-(-1)+1=-1+1+1=1$
$B(-1)=(-1)^{3}-4(-1)^{2}-(-1)+3=1-4-1+3=-1$