Bài tập 6.22. Cho tứ giác ABCD có AB $\bot $ CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5. Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài Làm:
- Xét tam giác AHD vuông tại H có: HD = $\sqrt{25-x^{2}}$ (áp dụng định lí Pytago).
- Xét tam giác BHC vuông tại H có: $HB^{2}+HC^{2}=BC^{2}$
=> $(x+2)^{2}+\left ( \sqrt{25-x^{2}} +8\right )^{2}=13^{2}$
$\Leftrightarrow 4\sqrt{25-x^{2}}=19-x$
Bình phương hai vế ta được:
$16.(25-x^{2}) =361 - 38x +x^{2}$
$\Leftrightarrow 17x^{2}-38x-39=0$
$\Leftrightarrow$ $x= 3$ hoặc $x= \frac{-13}{17}$
Thử lại phương trình và điều kiện x > 0, giá trị $x= 3$ thỏa mãn.
Vậy AH = x = 3.
- Diện tích tam giác HAD là: $S_{HAD}=\frac{1}{2}AH.HD=6$
- Diện tích tam giác HBC là: $S_{HAD}=\frac{1}{2}HB.HC=36$
Vậy diện tích tứ giác ABCD là: 36 - 6 = 30 (đơn vị diện tích).