Bài tập 3. Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a. $2 x^{2}-5 x+3>0$;
b. $-x^{2}-2 x+8 \leq 0$;
c. $4 x^{2}-12 x+9<0$;
d. $-3 x^{2}+7 x-4 \geq 0$.
Bài Làm:
a. Tam thức bậc hai $2 x^{2}-5 x+3$ có hai nghiệm $x_{1}=1, x_{2}=\frac{3}{2}$ và có hệ số $a=2>0$.
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $2 x^{2}-5 x+3$ mang dấu " $+$" là $\left(-\infty ; 1\right) \cup(\frac{3}{2};+\infty)$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2 x^{2}-5 x+3>0$ là $\left(-\infty ; 1\right) \cup(\frac{3}{2};+\infty)$.
b. Tam thức bậc hai $-x^{2}-2 x+8$ có hai nghiệm $x_{1}=-4, x_{2}=2$ và có hệ số $a=-1<0$.
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $-x^{2}-2 x+8$ mang dấu " $-$" là $\left(-\infty ; -4\right] \cup[2;+\infty)$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-x^{2}-2 x+8 \leq 0$ là $\left(-\infty ; -4\right] \cup[2;+\infty)$.
c. Tam thức bậc hai $4 x^{2}-12 x+9$ có $\Delta=0$, hệ số $a=4>0$ nên $f(x)>0$ với $\forall x\in \mathbb{R} \setminus {\frac{3}{2}}$
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $4 x^{2}-12 x+9$ mang dấu " $-$" là $\emptyset$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $4 x^{2}-12 x+9<0$ là $\emptyset$.
d. Tam thức bậc hai $-3 x^{2}+7 x-4$ có hai nghiệm $x_{1}=1, x_{2}=\frac{4}{3}$ và có hệ số $a=-3<0$.
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $-3 x^{2}+7 x-4$ mang dấu " $+$" là $[1;\frac{4}{3}]$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-3 x^{2}+7 x-4 \geq 0$ là $[1;\frac{4}{3}]$.