Bài tập 4. Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.
Bài Làm:
Gọi $x,y$ lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất $(x,y∈\mathbb{N})$.
Theo giả thiết, $x,y$ thỏa mãn các điều kiện $0\leq x\leq 200$; $0\leq y\leq 240$.
Thời gian làm $y$ chiếc kiểu thứ hai là $\frac{y}{60}$ (giờ)
Do thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai $\Rightarrow$ Thời gian để làm $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất $\frac{x}{30}$ (giờ)
Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày nên ta có: $\frac{x}{30} + \frac{y}{60} \leq 8$ $\Leftrightarrow$ $2x+y \leq 480$
Tổng số tiền lãi là: $T=24x+15y$
Bài toán đưa về: Tìm $x,y$ là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{aligned} 0\leq x\leq 200 \\ 0\leq y\leq 240 \\ 2x+y \leq 480 \end{aligned}\right.$ sao cho $T=24x+15y$ có giá trị lớn nhất.
Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình:
Giá trị của biểu thức $T=24x+15y$ đạt giá trị lớn nhất tại cặp số $(x;y)$ là tọa độ của một trong các đỉnh của ngũ giác $ABCDE$.
- $A(0;240) \Rightarrow T=3600$
- $B(120;240) \Rightarrow T=6480$
- $C(0;0) \Rightarrow T=0$
- $D(200;80) \Rightarrow T=6000$
- $E(200;0) \Rightarrow T=4800$
Vậy để tiền lãi thu được là cao nhất thì phân xưởng cần sản xuất 120 mũ kiểu thứ nhất và 240 mũ kiểu thứ hai trong một ngày.