Bài tập 7. Có hai con tài A vfa B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki - lô - mét), sau khi xuất phát t (giờ) ($t\ge 0$), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức: $\left\{ \begin{align}& x=3-33t \\ & y=-4+25t \\\end{align} \right.$ , vị trí của tàu B có tọa độ là (4-30t;3-40t)
a. Tính cosin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.
b. Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhất?
c. Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?
Bài Làm:
a. Giả sử đường đi của tàu A là (d1) $\Rightarrow$ (d1): $\left\{ \begin{align}& x=3-33t \\ & y=-4+25t \\\end{align} \right.$ ; đường đi của tàu A là (d2)
$\Rightarrow$ (d2): $\left\{ \begin{align}& x=4-30t \\ & y=3-40t \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=(-33;25);\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=(-30;-40)$
$\cos (\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}},}\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}})=\frac{\left| -33.(-30)+25.(-40) \right|}{\sqrt{{{(-33)}^{2}}+{{25}^{2}}}.\sqrt{{{(-30)}^{2}}+{{(-40)}^{2}}}}=\frac{1990}{2070,024154}\approx 0,96$
b. Kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhất, khi hai tàu gặp nhau.
Phương trình tham số của (d1): $\left\{ \begin{align}& x=3-33t \\ & y=-4+25t \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát $\text{ }({{d}_{1}}):\text{ 25x+33y+57=0}$
Phương trình tham số của (d2): $\left\{ \begin{align}& x=4-30t \\ & y=3-40t \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát $\text{ }({{d}_{2}}):\text{ 40x-30y-70=0}$
Xét phương trình tọa độ giao điểm của ${d}_{1}$ và ${d}_{2}$ có:
$\left\{ \begin{align}& \text{25x+33y+57=0} \\ & \text{40x-30y-70=0} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=\frac{20}{69} \\ & y=\frac{-403}{207} \\\end{align} \right.$
Thay vào phương trình tham số của (d1) ta được $\left\{ \begin{align}& \frac{20}{69}=3-33.t \\ & \frac{-403}{207}=-4+25t \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow t=\frac{17}{207}=\frac{340}{69}\approx 4,93$ (phút)
Vậy hai tàu gần nhất sau khi xuất phát khoảng 4,93 phút.
c. Khi tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu $\Rightarrow$ A(3;-4). Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa tàu A và tàu B = d(A; (d2))
Vì (d2): $\left\{ \begin{align}& x=4-30t \\ & y=3-40t \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow$ (d2) qua B(4; 3), nhận vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{{{d}_{2}}}}}=(40;-30)$
$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của (d): $40(x-4) -30(y-3) = 0$ hay (d): $40x-30y -70 = 0$
$d(A;{{d}_{2}})=\frac{\left| 40.3-30.(-4)-70 \right|}{\sqrt{{{40}^{2}}+{{(-30)}^{2}}}}=\frac{170}{50}=3,4$
Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4 cm.