12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(3; 4), B(8; 6). Kẻ đường phân giác trong OD của tam giác OAB (D thuộc đoạn AB).
a) Tính OA, OB.
b) Chứng minh rằng $\vec{OD}=\frac{2}{3}\vec{OA}+\frac{1}{3}\vec{OB}.$
c) Tìm toạ độ điểm D.
Bài Làm:
a) Ta có: A(3; 4), suy ra $\vec{OA}=(3;4)$, do đó OA =\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ .
B(8; 6), suy ra $\vec{OB}=(8;6)$ , do đó OB = $\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$.
b) Do OD là đường phân giác trong của tam giác OAB nên theo tính chất đường phân giác ta có: $\frac{AD}{BD}=\frac{OA}{OB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ .
Suy ra: BD = 2AD.
Mặt khác do D thuộc đoạn AB nên hai vectơ $\vec{AD},\vec{BD}$ ngược hướng.
Do vậy, $\vec{BD}=-2\vec{AD}$ .
Mà $\vec{BD}=\vec{OD}-\vec{OB};\vec{AD}=\vec{OD}-\vec{OA}$ .
Từ đó ta có: $\vec{OD}-\vec{OB}=-2(\vec{OD}-\vec{OA})$
<=> $3\vec{OD}=2\vec{OA}+\vec{OB}$
<=> $\vec{OD}=\frac{2}{3}\vec{OA}+\frac{1}{3}\vec{OB}.$ (đpcm).
c) Gọi D(x; y), do $\vec{OD}=\frac{2}{3}\vec{OA}+\frac{1}{3}\vec{OB}$, suy ra:
$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2}{3}xA+\frac{1}{3}xB\\ y=\frac{2}{3}yA+\frac{1}{3}yB \end{matrix}\right.=> \left\{\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 8=\frac{14}{3}\\ y=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 6=\frac{14}{3} \end{matrix}\right.$
Vậy $D(\frac{14}{3};\frac{14}{3})$