7.25. Cho đường tròn (C), đường thẳng Δ có phương trình lần lượt là:
$(x – 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2; x + y + 2 = 0.$
a) Chứng minh rằng Δ là một tiếp tuyến của đường tròn (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng d song song với đường thẳng Δ.
Bài Làm:
Đường tròn (C): $(x – 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2$ có
tâm I(1; –1)
bán kính $R^{2} = 2 ⇒ R=\sqrt{2} .$
a) Khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ là
d(I,Δ)=$\frac{|1-1+2|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}$
Ta có d(I, Δ) = R, do đó Δ là một tiếp tuyến của (C).
b) Vì đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên phương trình đường thẳng d có dạng x + y + m = 0, trong đó m ≠ 2.
Để d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi
$d(I,d)=R⇔\frac{|1-1+m|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2} ⇔ |m| = 2 ⇔ m = ± 2$
Mà m ≠ 2 nên m = –2
Vậy phương trình của đường thẳng d là x + y – 2 = 0.