Bài tập 4. Xét vị trí tương đối của các cặp dường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ sau đây:
a. $d_{1}$: x - y + 2 = 0 và $d_{2}$: $x + y + 4 = 0$
b. $d_{1}$: $\left\{\begin{matrix}x = 1 + 2t\\ y = 3 + 5t\end{matrix}\right.$ và $d_{2}$: $5x - 2y + 9 = 0$
c. $d_{1}$: $\left\{\begin{matrix}x = 2 - t\\ y = 5 + 3t\end{matrix}\right.$ và $d_{2}$: $3x + y - 11 = 0$.
Bài Làm:
a. Ta có $d_{1}$ và $d_{2}$ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}}$ = (1; -1) và $\vec{n_{2}}$ = (1; 1).
Ta có: $\vec{n_{1}}$. $\vec{n_{2}}$ = 1. 1 + 1. (-1) = 0 $\Rightarrow$ $\vec{n_{1}}$ $\perp$$\vec{n_{2}}$. Do đó, $d_{1}$ $\perp$ $d_{2}$.
Tọa độ M là giao điểm của $d_{1}$ và $d_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x - y + 2 = 0\\ x + y + 4 = 0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x = -3\\ y = -1\end{matrix}\right.$
Vậy $d_{1}$ vuông góc với $d_{2}$ và cắt nhau tại M(-3; -1).
b. Ta có $\vec{u_{1}}$ = (2; 5) là vectơ chỉ phương của $d_{1}$ $\Rightarrow$ $\vec{n_{1}}$ = (5; -2) là vectơ pháp tuyến của $d_{1}$.
$\vec{n_{2}}$ = (5; -2) là vectơ pháp tuyến của $d_{2}$.
Ta có: $\vec{n_{1}}$ = $\vec{n{2}}$ nên $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ là hai vectơ cùng phương. Do đó, $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm M(1; 3) $\in$ $d_{1}$, thay tọa độ của M vào phương trình $d_{2}$, ta được: 5. 1 - 2. 3 + 9 $\neq$ 0
$\Rightarrow$ M $\notin$ $d_{2}$.
Vậy $d_{1}$ // $d_{2}$.
c. $\vec{u_{1}}$ = (-1; 3) là vectơ chỉ phương của $d_{1}$ $\Rightarrow$$\vec{n_{1}}$ = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của $d_{1}$.
$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của d đi qua điểm A(2; 5) và nhận $\vec{n_{1}}$ = (3; 1) là vectơ pháp tuyến là:
$3(x - 2) + 1(y - 5) = 0$ $\Leftrightarrow$ $3x + y - 11 = 0$
Ta có: $\vec{n_{2}}$ = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của $d_{2}$.
Ta có: $\vec{n_{1}}$ = $\vec{n_{2}}$ nên $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ là hai vectơ cùng phương. Do đó, $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm N(2; 5) $\in$ $d_{1}$, thay tọa độ của N vào phương trình $d_{2}$, ta được: 3. 2 + 5 - 11 = 0
$\Rightarrow$ N $\in$ $d_{2}$.
Vậy $d_{1}$ $\equiv$ $d_{2}$