Bài tập 13. Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác ABC, ta có:
$r=\frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$
Bài Làm:
Gọi $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi của tam giác.
Theo công thức có: SABC = p.r, nên r = SABC : p.
Theo công thức Heron: $S_{ABC}=\sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}$
Ta có: p - a = $\frac{a+b+c}{2}$ - a = $\frac{b+c-a}{2}$.
Tương tự p - b = $\frac{a+b+c}{2}$ - b = $\frac{a+c-b}{2}$.
p - c = $\frac{a+b+c}{2}$ - c = $\frac{a+b-c}{2}$.
$\Rightarrow$ $r=\frac{\sqrt{p}\sqrt{\frac{(b+c-a)}{2}.\frac{(c+a-b)}{2}.\frac{(a+b-c)}{2}}}{p}=\frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$.