Bài tập 7.36. Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
a. Tìm các giao điểm A1, A2 của hypebol với trục hoành (hoành độ của A1 nhỏ hơn của A2).
b. Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x\leq -a$, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì $x\geq a$.
c. Tìm các điểm M1, M2 tương ứng thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để M1M2 nhỏ nhất.
Bài Làm:
a. A1 thuộc trục hoành nên y = 0 $\Rightarrow$ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{0^{2}}{b^{2}}=1$
$\Leftrightarrow$ x2 = a2.
Do hoành độ của A1 nhỏ hơn hoành độ của A2 nên A1(-a; 0) và A2(a; 0)
b. Ta chứng minh: x2 $\geq $ a2
Giả sử: x2 $\geq $ a2
$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}\geq 1$ (luôn đúng)
Luôn đúng vì $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}=1+\frac{y^{2}}{b^{2}}\geq 1$
- Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung thì x < 0 mà x2 $\geq $ a2 nên x $\leq $ -a.
- Nếu M thuộc nhánh bên phải trục tung thì x > 0 mà x2 $\geq $ a2 nên x $\geq $ a.
c. Gọi M1(x1; y1) thuộc nhánh bên trái nên x1 < 0, M2(x2; y2) thuộc nhánh bên phải nên x2 > 0
Theo b ta có: x1 $\leq $ -a và x2 $\geq $ a nên |x1| + |x2| $\geq $ a + a = 2a.
Do x1 < 0 và x2 > 0 nên x2 - x1 = |x2| + |x1| $\geq $ a + a = 2a.
Ta có: M1M2 = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
Lại có: $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\geq \left ( |x_{2}|+|x_{1}| \right )^{2}+0\geq (2a)^{2}$
Nên M1M2 $\geq $ A1A2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M1 trùng A1 và M2 trùng A2.
Vậy để M1M2 nhỏ nhất thì M1 trùng A1 và M2 trùng A2.