Bài tập 17. Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí A, B nhận được. Khoảng cách giữa hai trạm là 16 km và trạm ở vị trí A nhận được tín hiệu sớm hơn 6 giây so với trạm ở vị trí. Giả sử vận tốc âm thanh là 1236 km/h. Hãy xác định phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó.
Bài Làm:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A, B nằm trên trục Ox, tia Ox trùng với tia OB, O là trung điểm của AB. Nên tọa độ hai điểm là: A(-8; 0) và B(8; 0)
Khi đó vị trí tàu phát ra âm thanh là điểm M nằm trên hypebol có 2 tiêu điểm là A và B.
Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 6 s nên ta có: |MA - MB| = 6:3600.1236 = 2,06 km.
Gọi phương trình chính tắc của hypebol có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{^{2}}{b^{2}}=1$ với a, b > 0.
Do |MA - MB| = 2,06 = 2a $\Leftrightarrow$ a = 1,03.
Do hai tiêu điểm là: A(-8; 0) và B(8; 0) nên c = 8
$\Rightarrow$ b = $\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{63,9391}$
$\Rightarrow$ phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là: $\frac{x^{2}}{1,0609}-\frac{y^{2}}{63,9391}=1$ .
Vậy phạm vi vị trí phát ra là trên đường hypebol có phương trình: $\frac{x^{2}}{1,0609}-\frac{y^{2}}{63,9391}=1$.