Bài tập 7.8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a. $\Delta _{1}:\sqrt{3}x+y-4=0$ và $\Delta _{2}: x+\sqrt{3}y+3=0$
b. $d_{1}:\left\{\begin{matrix}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{matrix}\right.$ và $d_{2}:\left\{\begin{matrix}x=3+s\\ y=1-3s\end{matrix}\right.$ (t, s là các tham số)
Bài Làm:
a.
$\Delta _{1}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}}(\sqrt{3}; 1)$
$\Delta _{2}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}}(1; \sqrt{3})$
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$, ta có:
$cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}})\right |=\frac{|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}|}{\sqrt{1^{2}+3}.\sqrt{3+1^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Do đó góc giữa $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ là $\varphi =30^{o}$.
b.
$d _{1}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}}(2; 4)$
$d _{2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}}(1; -3)$
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $d _{1}$ và $d _{2}$, ta có:
$cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}})\right |=\frac{|2.1-3.4|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}.\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Do đó góc giữa $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ là $\varphi \approx 26,6^{o}$.