Bài tập 7.11. Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a $\neq $ 0) và d': y = a'x + b' (a' $\neq $ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.
Bài Làm:
- Giả sử đường thẳng d và d' vuông góc với nhau, ta chứng minh aa' = -1. Thật vậy,
Đường thẳng d có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n}(a; -1)$
Đường thẳng d' có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n'}(a'; -1)$
Do đường thẳng d và d' vuông góc với nhau nên $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}=0$
$\Rightarrow$ a.a' + (-1).(-1) = 0, hay a.a' = -1.
- Giả sử a.a' = -1, ta chứng minh đường thẳng d và d' vuông góc với nhau. Thật vậy,
Xét tích vô hướng: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}= a.a' + (-1).(-1) = -1 + 1 = 0$
$\Rightarrow$ $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{n'}$
Vậy đường thẳng d và d' vuông góc với nhau.