Bài tập 3.45. Cho tam giác ABC có $\widehat{B} = 15^{o}, \widehat{C} = 30^{o}$ và c = 2.
a) Tính số đo góc A và độ dài các cạnh a, b.
b) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
c) Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho $\widehat{BCD} = \widehat{DCA}$ (tức CD là phân giác của góc $\widehat{BCA}$). Tính độ dài CD.
Bài Làm:
Trả lời:
a) Có $\widehat{A} = 180^{o} - \widehat{B} - \widehat{C} =180^{0} - 15^{o} -30^{o} = 135^{o}$
Áp dụng định lí sin ta có:
$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$
$\Rightarrow \frac{a}{sin135} = \frac{b}{sin15} = \frac{c}{sin30} = 4$
$\Rightarrow a = 4sin135 = 2\sqrt{2}, b = 4sin15 = \sqrt{6}-\sqrt{2}$
b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:
$S = \frac{1}{2}ac.sinB = \frac{1}{2}.2\sqrt{2}.(\sqrt{6}-\sqrt{2}).sin30= -1 + \sqrt{3}$
$\Rightarrow R = \frac{abc}{4S} = \frac{2\sqrt{2}.(\sqrt{6}-\sqrt{2}).2}{4.(-1+\sqrt{3})} = 2$
c)
CD là phân giác của góc $\widehat{BCA}$ nên $\widehat{BCD}$ = $\widehat{DCA}$ = $\frac{1}{2}\widehat{BCA} = \widehat{B} = 15^{o}$
Tam giác BCD là tam giác cân tại D
Giả sử I là trung điểm của BC
Khi đó DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao
$\Rightarrow IB = IC \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.2\sqrt{2} = \sqrt{2}$
Xét tam giác CDI vuông tại I ta có:
$CD = \frac{CI}{cos\widehat{ICD}} = \frac{\sqrt{2}}{cos15} = -2 +2\sqrt{3}$