Bài tập 4.20. Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm K thoả mãn $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} + 3\overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}$.
b) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn $|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = |\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}|$.
Bài Làm:
Trả lời:
a) Giả sử tìm được K thỏa mãn $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} + 3\overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}$
Gọi I là trung điểm AC, J là trung điểm BC khi đó:
$\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} + 3\overrightarrow{KC} = (\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KC}) + 2(\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC}) = 2\overrightarrow{KI} + 4\overrightarrow{KJ}$ (1)
Lấy điểm L thuộc đoạn IJ sao cho LI = 2LJ
Khi đó theo kết quả của Ví dụ 2 ta có được $\overrightarrow{LI} + 2\overrightarrow{LJ} = \overrightarrow{0}$
Kết hợp với (1) suy ra $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} + 3\overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow 2(\overrightarrow{KI} + 2\overrightarrow{KJ} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 6\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{0}$
Tương đương K $\equiv$ L
b) Với mỗi điểm M ta có $\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CB}$ (2)
Theo kết quả câu a $\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = 6\overrightarrow{ML}$ (3)
Từ (2) và (3) suy ra
$|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = |\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}| \Leftrightarrow |6\overrightarrow{ML}| = |\overrightarrow{CB}| \Leftrightarrow LM = \frac{BC}{6}$