Bài tập 4.33. Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng
$\overrightarrow{MD} . \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{NE} . \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{PE} . \overrightarrow{AB}= 0$
Bài Làm:
Trả lời:
Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC
Khi đó D E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của H trên BC, CA, AB và M, N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O trên BC, CA, AB
Theo định lí chiếu ta có:
$\overrightarrow{MD} . \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OH} . (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{NE} . \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OH} . (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) = \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{OC}$
$\overrightarrow{PF} . \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OH} . (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{OA}$
Từ đó suy ra $\overrightarrow{MD} . \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{NE} . \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{PE} . \overrightarrow{AB}= 0$