Bài tập 4.8. Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.
a) Chứng minh rằng O là trung điểm MN.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.
Bài Làm:
Trả lời:
a) ABCD là hình bình hành tâm O nên 0 là trung điểm AC và $\widehat{ADO} = \widehat{CBO}$
Xét tam giác ODN và tam giác OBM ta có:
OD = OB
$\widehat{DON} = \widehat{BMO}$ (2 góc đối đỉnh)
$\widehat{NDO} = \widehat{MBO}$ (vì $\widehat{ADO} = \widehat{CBO}$)
Vậy $\bigtriangleup ODN = \bigtriangleup OBM$ (g.c.g)
$\Rightarrow$ ON = OM
$\Rightarrow$ O là trung điểm MN
b) G là trọng tâm của $\bigtriangleup BCD$ nên $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$
$\Rightarrow (\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB}) + \overrightarrow{GC} + (\overrightarrow{GN} + \overrightarrow{ND}) = \overrightarrow{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GN} + (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{ND}) = \overrightarrow{0}$ (1)
Có O là trung điểm của MN (chứng minh câu a)
O là trung điểm của BD (chứng minh câu a)
$\Rightarrow$ BMDN là hình bình hành
$\Rightarrow \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{ND}$
$\Rightarrow -\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{ND}$
$\Rightarrow \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{0}$
Thay vào (1) ta có: $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$
$\Rightarrow$ G là trọng tâm tam giác MNC