Bài tập 4.55. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM = MC, CN = 2NA, AP = 2PB. Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{NP}$ bằng
A. $\frac{2}{3}$. B. $\frac{-1}{2}$
C. 0. D. 1.
Bài Làm:
Trả lời: Chọn đáp án: C. 0.
Có $\frac{CN}{CA} = \frac{CM}{CB} = \frac{2}{3}$
$\Rightarrow$ MN // AB hay MN // AP (1)
Có $\frac{BP}{BA} = \frac{BM}{BC} = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow$ MP // AC hay MP // AN (2)
Có AP = $\frac{2}{3}$AB = $\frac{2}{3} . 1 = \frac{2}{3}$ và AN = $\frac{1}{3}$AC = $\frac{2}{3}$
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác APMN là hình bình hành
Có $\widehat{PAN} = 90^{o}$ và AP = AN = $\frac{2}{3}$
Suy ra tứ giác APMN là hình vuông
$\Rightarrow AP \perp PN$
$\Rightarrow \overrightarrow{AM} . \overrightarrow{NP} = 0$