Bài tập 4.10. Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a) Xác định vectơ $\overrightarrow{AF} - \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CE}$.
b) Xác định điểm M thoà mãn $\overrightarrow{AF} - \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{MA}$.
c) Chứng minh rằng $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB}$.
Bài Làm:
Trả lời:
a) Do D là trung điểm của BC, E là trung điểm của CA, F là trung điểm của AB nên
$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{FB}$, $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{DF}$
Do $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{DF}$ nên tứ giác CFDE là hình bình hành
Từ đó $-\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CF}$
Suy ra $\overrightarrow{AF} - \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{CB}$
b) Giả sử điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{AF} - \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{MA}$
Ta có $\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{MA}$ (chứng minh câu a)
Suy ra tứ giác ABCM là hình bình hành
Suy ra điểm M cần tìm đối xứng với B qua E
c) Bởi vì ABCM là hình bình hành (chứng minh câu a)
Nên $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB}$