Bài tập 4.53. Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và $\widehat{ABC} = 60^{o}$. Tích vô hướng $\overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CA}$ bằng
A. $\sqrt{3}$. B. $-\sqrt{3}$.
C. 3. D. -3.
Bài Làm:
Trả lời: Chọn đáp án: D. -3.
Gọi D là điểm đối xứng B qua C
Áp dụng định lí côsin ta có:
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2.AB.AC.cos\widehat{ABC}$
$\Rightarrow AC^{2} = 1 + 4 - 2.1.2.cos60^{o}$
$\Rightarrow AC^{2} = 3$
$\Rightarrow AC = \sqrt{3}$
Áp dụng định lí sin ta có:
$\frac{AB}{sinACB} = \frac{AC}{sin\widehat{ABC}}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{sin\widehat{ACB}} = \frac{\sqrt{3}}{sin60^{o}}$
$\Leftrightarrow sin\widehat{ACB} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \widehat{ACB} = 30^{o}$
$\Rightarrow \widehat{ACD} = 180^{o} - 30^{o} = 150^{o}$
Có $\overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CD} . \overrightarrow{CA}.cos(\overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CA}) = 2.2.cos150^{o} = -3$