Bài tập 4.23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;-1). B(1; 4) và C(7; 0).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CA. Từ đó suy ra tam giác ABC là một tam giác vuông cân.
b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABDC là một hình vuông.
Bài Làm:
Trả lời:
a) Theo đề bài có A(2;-1). B(1; 4) và C(7; 0) suy ra
$\overrightarrow{AB}$ = (1 - 2; 4 - (-1)) = (-1; 5)
$\Rightarrow AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1^{2}) + 5^{2}} = \sqrt{26}$
$\overrightarrow{BC}$ = (7 - 1; 0 - 4) = (6; -4)
$\Rightarrow BC = |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-4^{2}) + 6^{2}} = 2\sqrt{13}$
$\overrightarrow{CA}$ = (2 - 7; -1 - 0) = (-5; -1)
$\Rightarrow CA = |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(-5^{2}) + (-1^{2})} = \sqrt{26}$
Suy ra AB = CA nên tam giác ABC cân tại A (1)
Có $BC^{2} = (2\sqrt{13})^{2} = 52$
Lại có $AB^{2} + AC^{2} = (\sqrt{26})^{2} + (\sqrt{26})^{2} = 52$
Suy ra $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$
Theo định lí Pytago đảo thì tam giác ABC vuông tại A (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông cân tại A
b) Có ABC là tam giác vuông cân mà để ABDC là hình vuông thì tứ giác ABDC là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DB}$
Gọi D$(x_{D}; y _{D})$ và có A(2;-1). B(1; 4) và C(7; 0)
$\Rightarrow \overrightarrow{CA} = (-5; -1)$ và $\overrightarrow{DB} = (1 - x_{D}; 4 - y _{D})$
Do đó $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DB}$
$\Leftrightarrow$ 
$\Leftrightarrow$ 
Suy ra D(6; 5)